选修2-2数学《第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.3 推理案例赏析》精品课教案

选修2-2数学《第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.3 推理案例赏析》精品课教案

学习重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

学习难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程：

一、新课导入：

问题（1）：谁能明白老师此时的心情？

问题（2）：在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？

二、案例：

例1：正整数平方和公式的推导。

分析：记s (n)=1+2+3+……+n= n(n+1),

那么，前n 个正整数的平方和

s (n)= 1 +2 +3 +……+n ＝？

思路一：归纳的方案

问题（3）：猜想：列举出s (n)的前几项，尝试能否从中归纳出一般的结论？

问题（4）：由问题（3）中的数据没有发现明显的关系。此时再猜想：s (n)和s (n)之间会不会有某种联系？

问题（5）：由问题（4）通过计算发现了s (n)和s (n)之间的规律是什么？由这个规律能否猜想出s (n)？这种猜想使用了哪种推理方法？该种方法发挥了什么作用？该结论需要证明吗？为什么？

思路二：演绎的方案

问题（6）：猜想：尝试每一项用n2-(n-1)2=2n-1展开的方法求出正整数的平方和？

问题（7）：由问题（6）尝试失败了。但由问题（6）我们求出了s (n)。它启示我们再猜想：能否将上面过程中的n2-(n-1)2=2n-1改为n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1再试呢？

问题（8）：由问题（7）中的尝试能求出s (n)吗？该结论需要证明吗？为什么？

例2：棱台体积公式的推导。分析：以四棱台为例。

问题（9）：为什么把梯形选为类比对象？

问题（10）：梯形的面积与四棱台的体积相类似。你能由梯形的面积公式猜想出四棱台的体积公式可能具有的形式吗？

问题（11）：公式的正确性要严格的证明来确认。它能表示棱台的体积吗？你能说明理由吗？

问题（12）：公式 不能表示棱台的体积。你能再猜想吗？即：

问题（13）：你能猜想出 具有 的形式吗？你能说明理由吗？