苏教版数学选修2-2《第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率-导数 瞬时速度与瞬时加速度》优质课教案

苏教版数学选修2-2《第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率-导数 瞬时速度与瞬时加速度》优质课教案

问题的能力及数形结合思想．

教学重点：

理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．

教学难点：

用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．

如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线 ，该直线 是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

因此，在点P附近我们可以用这条直线 来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．

2．探究活动．

如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，

试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；

在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？

在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？

二、建构数学

切线定义: 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线． 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．

思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？

三、数学运用

例1　试求 在点(2，4)处的切线斜率．

解法一　分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))，

则割线PQ的斜率为：