选修2-3《第3章 统计案例 3.2 回归分析 3.2.1 回归分析》优秀教案

选修2-3《第3章 统计案例 3.2 回归分析 3.2.1 回归分析》优秀教案

教学难点：相关性检验及回归分析

教学过程：

一．问题情景：

对一作直线运动的质点的运动过程观测了８次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．

时刻x/s 1 2 3 4 5 6 7 8 位置观测值y/cm 5.5 7.5 10 11.73 15.7 16 17 21 根据《数学必修３》中有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示．

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x与位置预测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归系数公式，可以得到线性回归方为 ，所以当x=9时，由线性回归方程可以估计其位置值为

问题：在时刻x=９时，质点的运动位置一定是22.6287cm吗？

二．学生活动：

由学生思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确的反映x与y之间的关系，x与y之间具有的是相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差．

三．建构数学

1．线性回归模型：我们将 称为线性回归模型． 称为随机误差．

2．线性回归模型应考虑的问题： = 1 ﹨* ROMAN I 　模型是否合理； = 2 ﹨* ROMAN II 　在合理的情况下，如何求a,b

3．线性回归方程：

4．相关系数r：

５．相关系数的性质：（１） ≤１；（２） 越接近１，x,y的线性相关程度越强；

（３） 越接近于０，x,y的线性相关程度越弱．

６．对相关系数进行显著性检验的步骤：

（１）提出统计假设 ：变量x,y不具有线性相关关系；

（２）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1-0.95=0.05与n-2在附录１中查出一个r的临界值 （其中1-0.95=0.05称为检验水平）；　（３）计算样本相关系数r；

（４）作出统计推断：若 ，则否定 ，表明有９５％的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若 ≤ ，则没有理由拒绝原来的假设 ，即就目前的数据而言，没有充分的理由认为y与x之间有线性相关关系．

四．数学应用

例１．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我过2001年的人口数．

年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1171 1246 解：为了简化数据，先将年份减区1949，得到下表

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1171 1246 作出散点图，根据公式可得线性回归方程为

由于2004对应的x=55,代入线性回归方程可得 （百万），即2004年的人口为13.23亿.