苏教版选修2-3数学《第1章 计数原理 1.2 排列 习题1.2 》优秀教学设计

苏教版选修2-3数学《第1章 计数原理 1.2 排列 习题1.2 》优秀教学设计

教学过程

一．两个基本计数原理。

1. 分类加法计数原理(也称加法原理)

完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

2. 分步乘法计数原理

完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.

3. 两个原理辨析

两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计算方法,它们的区别在于:分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.

二．排列

1. 排列

一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 QUOTE 表示.

2. 排列数公式

QUOTE =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里m≤n,其中等式的右边是m个连续的自然数相乘,最大的是n,最小的是n-m+1.

3. 全排列

n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列,全排列数用 QUOTE 表示,它等于自然数从1到n的连乘积,自然数从1到n的连乘积叫作n的阶乘,用n!表示.

例题解析

例题1. 如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法种数为　　　　.

?

【思维引导】染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从不同角度解决问题.

【答案】420

【解析】方法一:可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步计数原理即可得出结论.

由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).

方法二:以S,A,B,C,D顺序分步染色.

第一步,S点染色,有5种方法;