必修二数学《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.5 向量的数量积 4.5.2 利用数量积计算长度和角度》精品课教案

必修二数学《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.5 向量的数量积 4.5.2 利用数量积计算长度和角度》精品课教案

（2）能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

（3）掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 过程

与方法 让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 情感态度价值观 通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流

教学重 点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学难 点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教 学 过 程 教学活动 新课讲解：重要概念知识点：

1．向量的数量积(内积)

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影．

2．向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．

(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0且a·b＝0?a⊥b；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝ eq ﹨r(a2) ； (4)cos〈a，b〉＝ eq ﹨f(a·b,|a||b|) ； (5)|a·b|≤|a||b|.

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

4　投影　对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．思考1　对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．

例1　已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．

解　

跟踪训练1．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)

A．4 B．－4 C．2 D．－2

例2　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？

反思与感悟　向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.

跟踪训练2：已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？

例3　　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．

跟踪训练3．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)

A. eq ﹨f(3,4) B. eq ﹨f(5,37) C. eq ﹨f(25,37) D. eq ﹨f(5,﹨r(37))

基础过关