湘教版必修二数学《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.4 向量的分解与坐标表示 习题4》优秀教学设计

湘教版必修二数学《第4章 向量 数学建模 怎样描述位置的变化 4.4 向量的分解与坐标表示 习题4》优秀教学设计

4．知道什么是平面向量基本定理. 重点：向量的坐标表示以及向量的线性运算的坐标运算法则；两向量平行的坐标表示方法；

难点：平面向量基本定理及其简单应用；

疑点：两向量平行的坐标表示方法及灵活应用.

1．定理3

(1)将平面上的位移向量分解为两个单位向量e1，e2的实数倍向量之和xe1＋ye2，并且将系数排列起来，记为(x，y)，称为这个位移向量的坐标．为叙述方便，我们将一组向量的实数倍向量之和称为这些向量的线性组合．比如，xe1＋ye2就是e1，e2的线性组合．

(2)定理3：设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则

①平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数．

②两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是：a＝x且b＝y.

预习交流1

若用互相垂直的单位向量e1，e2来线性表示0，结果怎样？表示方法唯一吗？

提示：由于0e1＝0,0e2＝0，所以0e1＋0e2＝0.

由定理3知用e1，e2来线性表示任意一个向量时，表示方法是唯一的，所以若0＝xe1＋ye2，则必有x＝0，y＝0.

2．向量的坐标及其坐标运算

(1)定理3可以理解为：任意取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为“尺”，可以“度量”平面上任何一个向量v，得出两个“量数”x，y，我们将e1，e2称为一组基，用这组基去“度量”每一个向量v，也就是将v写成这组基的线性组合v＝xe1＋ye2，得到的两个“量数”x，y组成一组(x，y)，称为v的坐标，坐标(x，y)由两个数x，y组成，x称为它的第一分量(也称第一坐标)，y称为它的第二分量(也称第二坐标)．

(2)两个坐标相加减，将它们的两个分量分别相加减：

(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)．

一个数与坐标相乘，将这个数分别乘上坐标的每个分量：

a(x，y)＝(ax，ay)．

(3)向量平行的坐标表示：

我们用 ∥ 来表示两个向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)平行(也就是共线)．现在也可以直接写成(x1，y1)∥(x2，y2)来表示这两个向量平行．即其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，也就是说它们的坐标成比例，即x1y2＝y1x2成立．总结为

(x1，y1)∥(x2，y2)?x1y2－y1x2＝0.

预习交流2

向量的坐标与点的坐标的写法有什么区别？

提示：在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别与联系．向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标A(x，y)，中间没有等号．

预习交流3