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湘教版必修二《第3章 三角函数 3.3 三角函数的图象与性质 3.3.2 正切函数的图象与性质》优秀教案设计
教学重点 正切函数的图象
教学难点 正切函数的性质的简单应用
教学方法 引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题(启发引导式)
教具准备 三角板 圆规 小黑板
教学过程
Ⅰ.设置情境 前面我们研究了正余弦函数的图象和性质。今天我们来探讨一下正切函数的图象以及它的性质。为了更好研究其性质,我们首先讨论 的作图。那么怎样画 的图象呢?
问题1请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的?
(在单位圆上取终边为 (弧度)的角,作出其正弦线MP,设MP=y ,在直角坐标系下作点 ,则点 即为 图像上一点.)
问题2 我们能否利用单位圆中的正切线来绘制 图像呢?
Ⅱ 探索研究
师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?
∴ 是周期函数, 是它的一个周期.
师:对,我们还可以证明, 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,由于正切函数函数的定义域的不连续性。下面我们利用正切线画出函数 , 的图象。
图1
图2
作法如下:① 作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆.
② 把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线.
③ 找横坐标(把x轴上 到 这一段分成8等份) ④ 找纵坐标,正切线平移.⑤ 连线.
根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 ,且 的图像,并把它叫做正切曲线(如图2).
由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组
(2)正切函数的性质 (教师引导,学生观察图象得出)
①定义域:
②值域:R. 当 时 ,当 时
由正切曲线可以看出,当x小于kπ+ (k∈Z)且无限接近于kπ+ 时, 无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 x大于 且无限接近于 , 无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说, 可以取任何实数值,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集