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必修三《第7章 解析几何初步 7.4 几何问题的代数解法 》优秀教案
? 一、椭圆的参数方程
? 复习：
? ??1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆x2+y2=r2参数方程:
(2)圆x2+y2+2x-2y+1=0的参数方程：
2、类比圆的参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？
? 问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点
A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径
OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。设以Ox为始边，OA
为终边的角为θ，点M的坐标是(x,?y)。那么点A的横坐标为x，
点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，?y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
即 (θ为参数)。这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为[0,2)。
椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程中参数θ的意义 类似吗？
? 由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的 离心角），不是OM的旋转角。圆的参数是半径OM的旋转角。
思考：焦点在y轴上的椭圆的参数方程是：
? 练习：已知椭圆，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM＝60°。
(1)求点M的坐标；
(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？
?（3）求该椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。
?（4）求2x+3y的最大值和最小值；
?（5）求M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小。并求出最小距离。
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