湘教版数学选修1-1（文科）《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2双曲线的简单几何性质》优质课教案

湘教版数学选修1-1（文科）《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2双曲线的简单几何性质》优质课教案

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．

提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得， ，进一步得： ，或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；

②对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（ ）．

（iii）例题讲解与引申、扩展

例1 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在 轴上的渐近线是 ．

扩展：求与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方及离心率．

解法剖析：双曲线 的渐近线方程为 ．①焦点在 轴上时，设所求的双曲线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，无解；②焦点在 轴上时，设所求的双曲线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，因此，所求双曲线的标准方程为 ，离心率 ．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为 ．

例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到 ）．

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为 ，算出 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，在 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 或 送到呈矩形的足球场 中去铺垫，已知 ， ， ， ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．

解题剖析：设 为“等距离”线上任意一点，则 ，即 （定值），∴“等距离”线是以 、 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为 ．理由略．

例3 如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程．

分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程．

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

若点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离比是常数 ，则点 的轨迹方程是双曲线．其中定点 是焦点，定直线 ： 相应于 的准线；另一焦点 ，相应于 的准线 ： ．

情感、态度与价值观目标