湘教版数学选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性 习题7》优质课教案

湘教版数学选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性 习题7》优质课教案

4、体验构建函数的过程，由此体会到数学思想的重要性。

二、典型例题

1．利用函数解不等式

例1 已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则不等式 的解集为 .

答案：

解析：根据“ ”这一条件的结构特点，结合所求结论，

构造函数 ，则 ， 在 上是减函数.

又 ，

不等式 的解集等价于 的解集.

的解集为 .

变式1：定义在 上的函数 满足 ， ， 是 的导函数，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为 ．

答案：

解析：构造函数 ， ，可得 在 上单调递增， ，不等式 的解集可等价转化为 即 的解集，所以所求不等式的解集为 。

变式2： 已知 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为 .

答案:

解析：构造函数 ，则 ，故函数 在R上单调递增，又因为 ，所以当且仅当 时， ，即当且仅当 时， 成立，因此不等式 的解集为 。

【小结】此类问题可根据题中所给条件的形式联想导数的四则运算法则，从而构造辅助函数得到求解.常见构造如下：

（1） （ 为常数），构造辅助函数 ， ；

（2） ，构造辅助函数 ， ；

（3） ，构造辅助函数 ， ；

（4） ，构造辅助函数 ；

（5） ，构造辅助函数 .

2．利用函数解决不等式恒成立问题

例2 （2016江苏卷第19题改编）

已知函数 ，若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值。