湘教版选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.3 定积分的概念》优秀教案设计

湘教版选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.3 定积分的概念》优秀教案设计

【教法指导】

本节学习重点：掌握定积分的基本性质．

本节学习难点：理解定积分的几何意义．

【教学过程】

☆复习引入☆

任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所 示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲 线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.

☆探索新知☆

探究点一　定积分的概念

思考1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．

思考2　怎样正确认识定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx?

(2)定积分就是和的极限 eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) (ξi)·Δx，而? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．

(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1　利用定积分的定义，计算? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx的值．

解　令f(x)＝x3.

(1)分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[ eq ﹨f(i－1,n) ， eq ﹨f(i,n) ](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝ eq ﹨f(i,n) － eq ﹨f(i－1,n) ＝ eq ﹨f(1,n) .

(2)近似代替、求和

取ξi＝ eq ﹨f(i,n) (i＝1,2，…，n)，则

? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx≈Sn＝ eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) f( eq ﹨f(i,n) )·Δx

＝ eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) ( eq ﹨f(i,n) )3· eq ﹨f(1,n)

＝ eq ﹨f(1,n4) eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i＝1)) i3＝ eq ﹨f(1,n4) · eq ﹨f(1,4) n2(n＋1)2＝ eq ﹨f(1,4) (1＋ eq ﹨f(1,n) )2.

(3)取极限

? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx＝ eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) Sn＝ eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨f(1,4) (1＋ eq ﹨f(1,n) )2＝ eq ﹨f(1,4) .