选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.1 曲边梯形的面积 习题10》优秀教案

选修2-2（理科）《第4章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.1 曲边梯形的面积 习题10》优秀教案

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．

教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

复习：

1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：

分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．

二．新课讲授

1．定积分的概念

一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，

其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：

（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。

说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。

考察和式

不妨设

于是和式即为

阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）