湘教版选修2-2（理科）数学《第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值》优秀教学设计

湘教版选修2-2（理科）数学《第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值》优秀教学设计

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点： 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

创设情景

观察图3.3-8，我们发现， 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 在 此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大 附近函数 的图像，如图3.3-9．可以看出 ；在 ，当 时，函数 单调递增， ；当 时，函数 单调递减， ；这就说明，在 附近，函数值先增（ ， ）后减（ ， ）．这样，当 在 的附近从小到大经过 时， 先正后负，且 连续变化，于是有 ．

对于一般的函数 ，是否也有这样的性质呢？

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、 极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

新课讲授

导入新课

观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点

函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大

二、学生活动

学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.

三、数学建构

极值点的定义:

观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有

各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。

一般地，设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们说f ( )是函数 的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们说f ( )是函数 的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：(让同学讨论)

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > 。