湘教版数学选修2-3（理科）《第7章 计数原理 7.3 组合 7.3.2 组合数的性质和应用》优质课教案

湘教版数学选修2-3（理科）《第7章 计数原理 7.3 组合 7.3.2 组合数的性质和应用》优质课教案

[知识链接]

1．满足什么条件的两个组合是相同的组合？

答　如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同)．

2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？

答　在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式C eq ﹨o﹨al(m,n) ＝ eq ﹨f(A﹨o﹨al(m,n),A﹨o﹨al(m,m)) 常用于n为具体自然数的题目．一般偏向于组合数的计算．公式C eq ﹨o﹨al(m,n) ＝ eq ﹨f(n！,?n－m?！·m！) 常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明．

[预习导引]

1．组合数公式

C eq ﹨o﹨al(m,n) ＝ eq ﹨f(A﹨o﹨al(m,n),A﹨o﹨al(m,m)) ＝ eq ﹨f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！) ＝ eq ﹨f(n！,m！?n－m?！) (n，m∈N*，m≤n)．特别地C eq ﹨o﹨al(0,n) ＝C eq ﹨o﹨al(n,n) ＝1.

2．组合数的两个性质

(1)如果C eq ﹨o﹨al(m,n) ＝C eq ﹨o﹨al(k,n) ，则m＝k或m＝n－k.

(2)C eq ﹨o﹨al(m,n＋1) ＝C eq ﹨o﹨al(m,n) ＋C eq ﹨o﹨al(m－1,n) .

3．组合应用题的解法

(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．

(2)有限制条件的组合应用题的解法

常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类．

要点一　组合数性质的应用

例1　计算：(1)C eq ﹨o﹨al(5,5) ＋C eq ﹨o﹨al(5,6) ＋C eq ﹨o﹨al(5,7) ＋C eq ﹨o﹨al(5,8) ＋C eq ﹨o﹨al(5,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10) ；

(2)A eq ﹨o﹨al(2,3) ＋A eq ﹨o﹨al(2,4) ＋A eq ﹨o﹨al(2,5) ＋…＋A eq ﹨o﹨al(2,100) .

解　(1)原式＝C eq ﹨o﹨al(6,6) ＋C eq ﹨o﹨al(5,6) ＋C eq ﹨o﹨al(5,7) ＋C eq ﹨o﹨al(5,8) ＋C eq ﹨o﹨al(5,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10)

＝C eq ﹨o﹨al(6,7) ＋C eq ﹨o﹨al(5,7) ＋C eq ﹨o﹨al(5,8) ＋C eq ﹨o﹨al(5,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10)

＝C eq ﹨o﹨al(6,8) ＋C eq ﹨o﹨al(5,8) ＋C eq ﹨o﹨al(5,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10)

＝C eq ﹨o﹨al(6,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,9) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10) ＝C eq ﹨o﹨al(6,10) ＋C eq ﹨o﹨al(5,10) ＝C eq ﹨o﹨al(6,11) .

(2)法一　原式＝C eq ﹨o﹨al(2,3) A eq ﹨o﹨al(2,2) ＋C eq ﹨o﹨al(2,4) A eq ﹨o﹨al(2,2) ＋…＋C eq ﹨o﹨al(2,100) A eq ﹨o﹨al(2,2)

＝(C eq ﹨o﹨al(2,3) ＋C eq ﹨o﹨al(2,4) ＋…＋C eq ﹨o﹨al(2,100) )A eq ﹨o﹨al(2,2)