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选修4-5《第5章 三个重要不等式 5.1 柯西不等式 习题13 》优秀教案
一、选择题
1．函数y＝ eq \r(x－5) ＋2 eq \r(6－x) 的最大值 是( )
A. eq \r(3) B. eq \r(5)
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1· eq \r(x－5) ＋2· eq \r(6－x) ≤ eq \r(12＋22) · eq \r(（\r(x－5)）2＋（\r(6－x)）2) ＝ eq \r(5) .
答案：B
2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为( )
A．4 B．2 eq \r(13)
C．8 D．9
解析：(a2＋b2)(32 ＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值
所以3a＋2b≤2 eq \r(13) .
答案：B
3．已知a ，b＞0，且a＋b＝1，则( eq \r(4a＋1) ＋ eq \r(4b＋1) )2的最大值是( )
A．2 eq \r(6) B. eq \r(6)
C．6 D．12
解析：( eq \r(4a＋1) ＋ eq \r(4b＋1) )2＝(1· eq \r(4a＋1) ＋1· eq \r(4b＋1) )2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当 eq \r(4a＋1) ＝ eq \r(4b＋1) ，即a＝b时等号成立．
答案：D
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则 eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) 的最大值是( )
A．1 B. eq \r(3)
C．3 D．9
解析：由柯西不等式得[( eq \r(a) )2＋( eq \r(b) )2＋( eq \r(c) )2](12＋12＋12)≥( eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) )2，所以( eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) )2≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝ eq \f(1,3) 时等号成立．
所以 eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) 的最大值为 eq \r(3) .故选B.