选修3-1《第八讲 对无穷的深入思考 三 集合论的进一步发展与完善》优秀ppt课件

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德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。

1890年考入剑桥大学三一学院，大学前三年，他专攻数学，获数学荣誉学位考试的第七名。后曾两度在该校任教。

伯特兰·罗素

1895年，访问德国，研习于柏林大学。

1908年当选为皇家学会会员。

1950年获诺贝尔文学奖，被授予英国嘉行勋章。

罗素悖论

非常集:这种集合自身也是该集合的一个元素

例如，“一切集合所组成的集合”

正常集:其本身不是它的一个元素

例如，“有理数集”

罗素悖论

如果S是一切正常集的集合，则S属于哪一类呢？

假设S是非常集，则S为其自身的元素，而由S的定义，S的每一个元素都是正常集，所以S是正常集。

假设S是正常集，而一切正常集都已包含在S中了，所S一定包含在S中了，则按定义S是非常集。

这样不管从哪个假定出发都会推出矛盾的结果，这就是一个悖论。

罗素悖论

康托尔定理：任意集合的所有子集构成的集合（即幂集）的元素个数大于原来集合的元素个数。

考虑“所有集合构成的集合”的元素个数，这个集合是最大的集合，因为任何集合都只能与它的一个子集对等，所以它具有最大的基数，但康托尔定理，它的所有子集构成的集合，应该具有更大的基数

这又是一个悖论

罗素悖论

理发师悖论：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？

如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

古老的逻辑悖论——说谎者悖论