选修3-3 球面上的几何《第三讲 球面上的基本图形 三 球面三角形 1．球面三角形》优秀ppt课件

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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家

三角学：

研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。三角学分为平面三角学与球面三角学。它们都是研究三角形中边与角之间的关系的学科。平面三角学分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容；球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系，在天文学、测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。

回溯历史：三角学和天天文学

chapter1：古希腊的自然科学家泰勒斯（公元前624年－公元前546年）的理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史上都 认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。

提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．

chapter2：古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面学》提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．

Chapter3:瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．

chapter4:纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的《横截线原理书》开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支

应用实例一：开普勒测量行星轨道半径

开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动，而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向，就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了

要研究天，最好先懂得地 ！

开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的运动，然后再研究行星的运动。

在大地测量工作中，常常要测定那些由于某种自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定需要测定A地到对岸塔C的距离，因A、C两地被大河阻隔，无法直接去测量这段距离的长度。为了解决这个困难，观测者可在河的这岸另择一点B，AB的距离是可以直接丈量的。这段经过选定的、已知其长度的线段AB，用测量学的术语来说，叫做“基线”。基线确定后，可在它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。于是，在三角形ABC中，已知两角大小和它们所夹的边 （基线）长，三角形的其他角和边，就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得无法达到的目标的距离。

开普勒要测定地球（在其轨道上）与太阳的距离。在这里，太阳好比是上述例证中的A地，地球则是河对岸的那座塔C。为了布设“基线”，还需要另找一个定点 B。可是，在行星系统里，除了太阳是唯一“静止”的中心天体外，再也找不出第二个这样的“定点”。这要由开普勒另行觅取。

我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它有足够的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如果具备这些条件，它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯，就能用下述办法来测定地球的轨道。

譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳（S）和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。

以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'，这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。

我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M，它有足够的明亮度，并且永远悬挂在那里，以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如果具备这些条件，它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯，就能用下述办法来测定地球的轨道。

譬如，每年都会有这样一个时刻，地球 （E）正好在太阳（S）和灯（M）的连线上。这时，从地球上来看灯，我们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合，我们可以把后者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。

以后，在另一个时刻，地球运行到轨道上的另一位置E'，这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE'M。

在这个三角形中，SM边是事先选定的“基线”；e角的大小可以从地球上同时观测太阳和灯M来确定；S角就是地球向径（SE"）同基线 SM所夹的角，其大小也可以通过对恒星的观测来确定。有了这些已知条件，便可以得知三角形SE'M中SE"的距离，或者说地球E'相对于基线SM的位置完全可确定。

因此，只要在纸上任意画一条基线SM，凭着我们观测到的e和S的角度，就可以作出三角形SE'M来。我们可以在一年中经常这样做，每次都会在纸上得到地球E'对于那条基线SM的不同位置，并且给它们逐个注上日期，然后把这些点连成曲线……。这样，我们就从经验上确定了地球的轨道。虽然其大小还是相对的，然而却是“真实”的。

应用实例二：

天球坐标系（ps.太美了...）