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人教A版选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数》优秀教学课件
为15，求这两个数。
15与150，或30与135，或45与120，
或60与105，或75与90.
【定理2】设b是任一正整数，则（i)0与b的公因数就是
b的因数，反之， b的因数也就是0与b的公因数。
(ii)(0,b)=b
(a, 1) = 1， (a, a) = |a|； (a, b) = (b, a)；
【定理3】设 a = qb+r, 其中a,b,q,r都是整数, 则
(a，b) = (b，r)．
证：只需证 a与b 和 b与r 有相同的公因子．
设d是a与b的公因子, 即d|a且d|b．
注意到 r=a-qb, 由 性质有 d|r. 从而, d|b且 d|r, 即 d也是 b与r 的公因子．
反之一样, 设 d 是 b与 r的公因子, 即 dlb且 dlr．
注意到, a=qb+r, 故有 d|a . 从而, d|a且 d|b，即 d也是a与b的公因子．
【定理4】 设 ，记
A = { y | y = ，? ? i ? k }。
如果 是集合A中最小的正数，
则 。
推论1 设d是 的一个公约数，则 。
推论2 ( ) = |m|( )。
推论3 记? = ( )，则
= 1，特别地, = 1
【定理5】( ) = 1的充要条件是存在整数 ，使得 = 1。
【定理6】若 (a, b) = 1，则(a, bc) = (a, c)。
推论 若 (a, ) = 1，1 ? i ? n，