人教B版必修一《第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点》优秀教学课件

人教B版必修一《第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点》优秀教学课件

解此方程得x1=－2，x2=3。

这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数的函数值y=0。

画出这个函数的

简图，从图象上可以

看出，它与x轴相交于

两点(－2，0)、(3，0)。

这两点把x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)。

当x∈(－∞，－2)时，y>0；当x∈(－2，3)时，y<0；当x∈(3，+∞)时，y>0.

二次方程x2－x－6=0的根－2，3常称作函数y=x2－x－6的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)。

零点的定义：

一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)。

我们知道，对于二次函数y=ax2+bx+c：

当△=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有两个零点；

当△=b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有一个二重的零点或说有二阶零点；

当△=b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c没有零点；

考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步。

例如求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图。

另外，我们还能从二次函数的图象看到二次函数零点的性质：

（1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号。如上例，函数y= x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正。

（2）两个零点把x轴分成三个区间：

(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)，

在每个区间上，所有函数值保持同号。

例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象。

解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2)

=(x－2)(x+1)(x－1).