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人教B版数学选修4-5 不等式选讲《第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式 2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明》优质课ppt课件
2.二维形式的柯西不等式的向量形式？
设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.
从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？
思考
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观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得α=kβ时，等号成立.
探究
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2
+…+anbn)2 (*)
猜 想
分 析
如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(*)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.
证 明
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.
设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0.
因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0，
即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.
此时，有唯一实数x0，使aix0+bi=0(i=1,2,…,n).