选修4-5 不等式选讲数学《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》精品课课件

选修4-5 不等式选讲数学《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》精品课课件

[知识链接]

1.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？

提示　不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.

2.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？

提示　第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.

[预习导引]

1.由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为_______.

2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当______________时命题成立；

(2)假设当_____时命题成立，证明________时命题也成立.

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.

一般结论

归纳法

n取初始值n0

n＝k

n＝k＋1

要点一　用数学归纳法证明恒等式

例1　用数学归纳法证明：(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋

[(2n－1)·(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3).

证明　(1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，

右式＝－1·2·7＝－14.等式成立；

规律方法　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述当n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明当n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.

跟踪演练1　用数学归纳法证明：12－22＋32＋42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).

规律方法　利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.

跟踪演练2　已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.