人教B版选修4-5 不等式选讲数学《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》优秀教学ppt课件

人教B版选修4-5 不等式选讲数学《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》优秀教学ppt课件

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据

这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论

的反面出发进行论证，就不是反证法.

(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，总之推导出的矛盾必须是明显的.

例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，

abc > 0， 求证：a, b, c > 0

证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0, c > 0

例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,

不可能同时大于1/4

则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a >

又∵0 < a, b, c < 1 ∴

同理：

以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

与①矛盾∴结论成立

证明：设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4, (1 ?c)a>1/4,

【例】△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.

【分析】本题中的条件是三边间的关系 ，而要证明的是∠B与90°的大小关系.结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明.

【解答】∵a、b、c的倒数成等差数列， 假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0,b＞c＞0.