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必修第一册《均值不等式及其应用》优秀ppt课件
第二章 等式与不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值①.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
①多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如，a，b，c的算术平均值为 ，几何平均值为
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义.
a
1
2
b
1
4
1
3
1
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论.
当且仅当a=b时，等号成立.
均值不等式
如果a，b都是正数，那么
证明 因为a，b都是正数，所以