【答案】

存在．

如图，分别取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH.

因为F，G分别为PD，AD的中点，

所以FG∥PA.

因为FG⊄平面PAB，

PA⊂平面PAB，所以FG∥平面PAB.

因为E，F分别为PC，PD的中点，

所以EF∥CD，因为AB∥CD，所以EF∥AB.

因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB.

所以EF∥平面PAB，因为EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAB.

又GH∥CD，所以GH∥EF.

所以平面EFG即平面EFGH.

所以平面EFGH∥平面PAB.

又点Q∈平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，

所以点Q∈GH.

所以点Q在底面ABCD的中位线GH上．