| 试题内容 |
如图所示，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角DAPC的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积． |
| 答案解析 |
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【答案】 (1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20， ∴PD＝ ∴△PAB为直角三角形且∠APB＝90°，∴AP⊥PB. 又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC. 又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC. (2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB， ∴∠BPC是二面角DAPC的平面角． 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝ (3)∵D为AB的中点，M为PB的中点， ∴DM∥PA，故DM＝5 由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC. ∵S△BCM＝ ∴VMBCD＝VDBCM＝ 【解析】 本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解． |
| 所属考点 |
平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定知识点包括二面角及其平面角、平面与平面垂直、证明两个平面垂直的主要途径等部分，有关平面与平面垂直的判定的详情如下：二面角及其平面角1．二面角 2．二面角的平面角(1)满足条件：如图，射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，则平面角∠AOB应满足的条件为：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)取值范围：二面角的平面角&al |
| 录入时间：2021-03-15 15:56:55 |
AB＝10，
，
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