函数的奇偶性

函数的奇偶性知识点包括函数奇偶性的定义、函数奇偶性的判定方法、利用函数奇偶性求函数解析式的步骤、利用函数奇偶性求参数值的方法、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用、由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性等部分，有关函数的奇偶性的详情如下：

函数奇偶性的定义

函数奇偶性的判定方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．

用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．

②用－x代x，验证是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y轴)对称．

利用函数奇偶性求函数解析式的步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

利用函数奇偶性求参数值的方法

(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．

(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．

(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数．

单调性与奇偶性珠联璧合的妙用

(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知：

①奇函数在(－b，－a)和(a，b)上有相同的单调性．

②偶函数在(－b，－a)和(a，b)上有相反的单调性．

这里，区间(－b，－a)和(a，b)都在函数定义域内．

因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．

(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出．

由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性

1．函数图象的轴对称

2.函数图象的中心对称