向量的数量积的概念

向量的数量积的概念知识点包括向量的夹角、向量数量积的定义、投影向量、数量积的几个性质、两向量夹角的实质和求解等部分，有关向量的数量积的概念的详情如下：

向量的夹角

(1)已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作=a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

(2)向量夹角θ的取值范围是0≤θ≤π；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．

(3)如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作

向量数量积的定义及几何意义

1.(1)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.

(2)零向量与任一向量的数量积为0.

2.数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积；数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|cosθ的乘积，这两个投影是不同的．

投影向量

1.投影的概念：若向量a与b的夹角为θ，则向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ；向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.

2.如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，=b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量；

如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M₁，则就是向量a在向量b上的投影向量．

数量积的几个性质

设a、b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|²或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

两向量夹角的实质和求解

(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．

(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．