余弦定理、正弦定理应用举例 |
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| 知识点详情 | ||
余弦定理、正弦定理应用举例知识点包括俯角和仰角、方向角和方位角、坡度和坡比、基线、高度与角度问题、数学建模思想、解三角形应用题的具体操作程序、解三角形应用题常见的两种情形等部分，有关余弦定理、正弦定理应用举例的详情如下： 俯角和仰角如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．
方向角和方位角
①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、南偏西45°、南偏东20°. ②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角． 坡度和坡比坡面与水平面所成的夹角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比
基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 高度与角度问题1．高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 2．角度问题 测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角． 数学建模思想解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想． 解三角形应用题的具体操作程序(1)在弄清题意的基础上作出示意图； (2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量； (3)用正、余弦定理进行求解； (4)根据实际意义与精确度要求给出答案． 解三角形应用题常见的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． |
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| 典型例题 | ||
【第1题】
为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
【第2题】
如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
【第3题】
如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．
【第4题】
如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
【第5题】
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【第6题】
如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( )
A.100 m B.400 m C.200 m D.500 m 【第7题】
如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过一分钟后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为________km.
【第8题】
某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m．(精确到1 m)
【第9题】
某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 |
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如图所示．
km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．