必修一《第1章 集合与函数 1.2 函数的概念与性质 1.2.4 从解析式看函数的性质 习题7》优秀教案

必修一《第1章 集合与函数 1.2 函数的概念与性质 1.2.4 从解析式看函数的性质 习题7》优秀教案

②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．

正确的有________．

答案　①

[预习导引]

1．函数的上界和下界

(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．

(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．

2．函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．

(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．

3．函数的单调性

(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数．

(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间．

(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.

要点一　判断或证明函数的单调性

例1　 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．

证明　f(x＋h)＝x＋h＋，

∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－

＝h＋－＝h－＝.

∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.

∴＞0.

即差分f(x＋h)－f(x)＞0，

∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．

规律方法　证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．