湘教版数学必修一《第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数概念的推广 习题1》优质课教案

湘教版数学必修一《第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数概念的推广 习题1》优质课教案

三维目标

1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．

2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．

3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．

重点难点

教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．

教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．

内容回顾

3.1正整数指数函数 y=ax(a>0,a≠1,x∈N)

3.2指数的扩充及指数运算

指数函数的概念

通过正整数指数函数的概念和指数的扩充和指数运算的扩充，我们知道像y=ax(a>0,a≠1,x∈N)这样的正整数指数函数在x取零，负整数，分数，甚至是无理数时，对应的y都是存在且唯一的,分别是1，整数指数幂，分数指数幂和无理数指数幂。这使得对于任何a, (a>0,a≠1)对应的正整数指数函数y=ax，这个函数的定义域都可以从正整数集扩充到实数集。此时

函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)叫作指数函数．

如何理解指数函数的定义

(1)指数函数的定义域是实数集R.

(2)底数a大于零且不等于1的理由：

若a＝0，那么当x＞0时，ax≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，ax无意义；

若a＜0，那么对于x的某些数值，如，可使ax无意义；

若a＝1，那么对任何的x∈R，ax≡1，对它没有研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义，而且有研究的必要．

(3)指数函数解析式的结构特征：

在指数函数y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋k(a＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为，其中，.

指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．

(4)“形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．

2．指数函数y＝2x和的图像和性质