必修一《第1章 集合与函数 1.2 函数的概念与性质 1.2.8 二次函数的图象与性质——对称性 习题11》优秀教案

必修一《第1章 集合与函数 1.2 函数的概念与性质 1.2.8 二次函数的图象与性质——对称性 习题11》优秀教案

1．函数的奇偶性

(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数；

(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．

2．二次函数图象的对称性

(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－；

(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称.

要点一　函数奇偶性的判断

例1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x；

(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；

(3)f(x)＝x2＋；

(4)f(x)＝；

(5)f(x)＝＋.

解　(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；

(2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数；

(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；

(4)函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；

(5)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝0.

所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．

规律方法　1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．

(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：

偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)

2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．