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湘教版必修一数学《第2章 指数函数、对数函数和幂函数 数学实验 用二分法就方程的近似解》优秀教学设计
2.过程与方法
(1)培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;
(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想.
3.情感、态度与价值观
领会用运动的观点去观察分析事物的方 法,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习的兴趣.
重点: 函数单调性的概念,判断并证明函数的单调性.
难点:根据定义证明函数的单调性和利用函数图象判断单调性.
(1)重点的突破:以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点,从直观入手,顺应学生的认知规律,让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识,在此基础上,教师通过启发式提问,层层分解函数单调性的定义中所涉及的关键词(如:区间内,任意,当x1 (2)难点的解决:首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式,在此基础上通过实例提出问题:当函数图象不能作出时,应如何处理函数单调性,通过分组讨论,让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性,从而研究函数的单调性,从研究函数的图象过渡到研究函数的解析式.最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤:设值,作差,变形,断号,定论. 函数单调性的 运算性 质及相关结论 1.函数单调性的等价定义 当(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0时,函数y=f(x)是增函数;当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0时,函数y=f(x)是减函数(x1,x2是函数y=f(x)的同一个单调区间中的任意两个值). 2.函 数单调性的运算性质 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)f(x)与a·f(x),当a>0时具有相同的单调性;当a<0时具有相反的单调性. (3)当f(x)恒为正值或恒为负值时,f(x)与 具有相反的单调性. 给出证明如下:若函数y=f(x)是增函数,则(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,从而(x1-x2)· =-(x1-x2) <0,故函数y= 是减函数.同理可得,若函数y=f(x)是减函数,则函数y= 是增函数. (4)在f(x),g(x)的公共区间I上,有如下结论: f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 (5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)· g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f(x)·g(x )是减(增)函数. 典例已知y=f(x)与y=g(x)在区间A上均为增函数,利用函数单调性的定义判断下列函数在区间A上 的增减性. (1)y=-2f(x);(2)y=f(x)+g(x). 解:(1)对任意的x1,x2∈A,设 x1 ∵f(x)为增函数,