必修一数学《第2章 指数函数、对数函数和幂函数 小结与复习 复习题二》精品课教案

必修一数学《第2章 指数函数、对数函数和幂函数 小结与复习 复习题二》精品课教案

掌握对数函数与恒成立问题。

【精典范例】

一、对数不等式的求解方法

例1、解关于x的对数不等式；

2 loga (x－4)>loga(x－2).

思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。

解：原不等式等价于

(1)当a>1时，又等价于

解之，得x>6。

(2)当0

解之，得4

综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ ∞)；

当0

二、以对数函数为模型的抽象函数问题

例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，n∈N*.

思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。

(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；

(2)解：令x=y=4，则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2；

(3)证明：f(xn)=f(x·x·…·x) (n个x)

=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x) (n个f(x))

三、对数函数与恒成立问题

例3: 已知： 在 上恒有 ，求实数 的取值范围。

分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。

【解】∵ ，∴当 时， ，由 在 上恒成立 ，得 在 上恒成立，

∴ ，∴ （1）