选修2-1（理科）《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线的定义与标准方程》优秀教案

选修2-1（理科）《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线的定义与标准方程》优秀教案

由一位学生口答, 教师板书．

　问题1：椭圆的第一定义是什么？　　问题2：椭圆的标准方程是怎样的？

【新知探索】

1．双曲线的概念

　　如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”, 那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程是怎样的呢？

（1）演示

如图, 定点、是两个按钉, 是一个细套管, 点移动时, 是常数, 这样就画出双曲线的一支, 由是同一个常数, 可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．

（2）设问

　　①定点、与动点不在同一平面内, 能否得到双曲线？

　　 请学生回答, 不能．指出必须“在平面内”．

　　②到与两点的距离的差有什么关系？

请学生回答, 到与的距离的差的绝对值相等,

否则只表示双曲线的一支, 即是一个常数．

　　③这个常是否会大于或等？

　　 请学生回答, 应小于且大于零．当常数时, 轨迹是以、为端点的两条射线；当常数时, 无轨迹．

（3）定义

　　在此基础上, 引导学生概括出双曲线的定义：

　　平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

　2．双曲线的标准方程

　　现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程, 请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法, 随即引导学生给出双曲线标准方程的推导．

　　（1）建系设点

　 　取过焦点、的直线为轴, 线段的垂直平分线为轴建立在直角坐标系（如图）．

设为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距为, 则、, 又设点

与

、的距离的差的绝对值等于常数．