湘教版选修2-1（理科）数学《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线的定义与标准方程》优秀教学设计

湘教版选修2-1（理科）数学《第2章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线的定义与标准方程》优秀教学设计

《圆锥曲线的由来》 小组展示成果 学生通过课前的探究，通过网上寻找资料，了解圆锥曲线的历史文化知识。培养学生的敢于研究的科学精神和探索意识。 1、知识回顾

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？ 引导学生思考 通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，加强新旧知识的联系。通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望． 2、观察动画、动手作图

取出一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法．最后教师指出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题．

学生动手画图.

通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力． 观察思考问题：

1、在作图过程中哪些线段是变量？哪些线段是定量？

2、参照椭圆的定义，这些常量可以用什么符号来表示？

3、这个常量之间大小关系是怎样的？ 观察、思考并回答有关问题 对照椭圆的有关知识，体会圆锥曲线知识的一致性和统一性。 1、定义的归纳

（1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件．

提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件．

根据讨论总结出：| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a < |F1F2|. 通过以上分析，由学生归纳双曲线定义． 思考、讨论、归纳. 通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力．

（2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状． 类比记忆. 通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状．

提出问题：为什么要强调条件0<2a<2c?

若a等于0，a等于c,a大于c对应轨迹是什么？ 讨论、实验探究。回答问题。

观看视频a变化时的曲线。 进一步强化定义的理解和掌握。 2、标准方程的推导

（1）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么? 提问回答. 进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.

（2）推导过程

①建 系 以 所在直线为 轴,线段 的中点为原点,建直角坐标系.

②设点 设双曲线上任意一点 , ,

③列 式 即 ④化 简 得

令 ( )代人得

这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在 轴上. 推导方程.